Содержание
Теорема Гёделя о неполноте или о неизменности наших принципов
Давно интересовался, что собой представляет нашумевшая теорема Гёделя. И чем она полезна для жизни. И наконец смог разобраться.
Самая популярная формулировка теоремы звучит так:
«Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.»
На человеческий нематематический язык я перевёл бы это так (аксиома — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое в основе доказательства других ее положений). В жизни аксиома — это принципы, которым следуют человек, общество, научное направление, государства. У представителей религии аксиомы называются догмами. Следовательно, любые наши принципы, любая система взглядов, начиная с некоторого уровня, становится внутренне противоречива, или неполна. Для того, чтобы убедиться в истинности некоего утверждения, придётся выйти за рамки данной системы взглядов и построить новую. Но она также будет несовершенной. Т.е., ПРОЦЕСС ПОЗНАНИЯ БЕСКОНЕЧЕН. Мир нельзя познать до конца, пока мы не достигнем первоисточника.
«…если считать умение логически рассуждать основной характеристикой человеческого разума или, по крайней мере, главным его инструментом, то теорема Гёделя прямо указывает на ограниченность возможностей нашего мозга. Согласитесь, что человеку, воспитанному на вере в бесконечное могущество мысли, очень трудно принять тезис о пределах ее власти… Многие специалисты полагают, что формально-вычислительные, «аристотелевские» процессы, лежащие в основе логического мышления, составляют лишь часть человеческого сознания. Другая же его область, принципиально «невычислительная», отвечает за такие проявления, как интуиция, творческие озарения и понимание. И если первая половина разума подпадает под гёделевские ограничения, то вторая от подобных рамок свободна… Физик Роджер Пенроуз — пошел еще дальше. Он предположил существование некоторых квантовых эффектов невычислительного характера, обеспечивающих реализацию творческих актов сознания… Одним их многочисленных следствий гипотезы Пенроуза может стать, в частности, вывод о принципиальной невозможности создания искусственного интеллекта на основе современных вычислительных устройств, даже в том случае, если появление квантовых компьютеров приведет к грандиозному прорыву в области вычислительной техники. Дело в том, что любой компьютер может лишь всё более детально моделировать работу формально-логической, «вычислительной» деятельности человеческого сознания, но «невычислительные» способности интеллекта ему недоступны.»
Одним из важных следствий теоремы Гёделя является вывод, что нельзя мыслить крайностями. Всегда в рамках существующей теории найдётся утверждение, которое нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть. Или, другими словами, всегда к некоторому утверждению найдётся парное, опровергающее его.
Следующий вывод. Добро и зло — это всего лишь 2 стороны одной медали, без которых она не может существовать. А исходит оно из принципа, что во Вселенной есть только один источник всего: добра и зла, любви и ненависти, жизни и смерти.
Любое объявление законченности системы — ложно. Нельзя опираться на догмы, потому что рано или поздно они будут опровергнуты.
В этом смысле, современные религии находятся в критическом положении: догматы церкви противятся развитию наших представлений о мире. Пытаются всё втиснуть в рамки жёстких концепций. Но это приводит к тому, что от Единобожия, от единого источника всех природных процессов они переходят к язычеству, где есть силы добра и силы зла, есть бог добра где-то далеко в небесах, а есть дьявол (бог зла), который давно уже наложил лапу на всё, что есть на Земле. Такой подход приводит к делению всех людей на своих и чужих, на праведников и грешников, на верующих и еретиков, на друзей и врагов.
Вот ещё один небольшой текст, популярно раскрывающий суть, вытекающую из теоремы Гёделя:
«Мне представляется, что это теорема несет важный философский смысл. Возможны лишь два варианта:
а) Теория неполна, т.е. в терминах теории можно сформулировать такой вопрос, на который невозможно вывести из аксиом/постулатов теории ни положительный, ни отрицательный ответ. При этом ответы на все такие вопросы можно дать в рамках более всеобъемлющей теории, в которой старая будет частным случаем. Но эта новая теория будет иметь свои собственные «вопросы без ответов» и так до бесконечности.
б) Полна, но противоречива. Можно ответить на любой вопрос, но на некоторые вопросы можно вывести и положительный и отрицательный ответ одновременно.
Научные теории относятся к первому типу. Они непротиворечивы, но из этого означает, что не описывают все. Не может быть никакой «окончательной» научной теории. Любая теория неполна и что-то не описывает, даже если мы пока не знаем, что именно. Можно только создавать все более и более всеобъемлющие теории. Для меня лично это повод для оптимизма, ведь это означает, что движение науки вперед никогда не остановится.
«Всемогущий бог» относится ко второму типу. Всемогущий бог — это ответ на любой вопрос. И это автоматически означает, что он приводит к логическому абсурду. Парадоксы подобные «неподъемному камню» можно выдумывать пачками.
В общем, научное знание верно (непротиворечиво), но в любой момент времени описывает не все. При этом ничто не мешает раздвигать границы познанного до бесконечности, все далее и далее и рано или поздно любое непознанное становится познанным. Религия же претендует на полное описание мира «прямо сейчас», но при этом автоматически неверна (абсурдна).»
В своё время, когда я только начинал свою взрослую жизнь, я занимался программированием. И там был такой принцип: если в программу вносится много исправлений, её надо переписать заново. Этот принцип, на мой взгляд, соответствует теореме Гёделя. Если программа усложняется, она становится противоречивой. И работать правильно не будет.
Ещё один пример из жизни. Мы живём в эпоху, когда чиновники заявляют, что главным принципом существования должен быть закон. Т.е., правовая система. Но как только начинается усложнение законодательства и процветание нормотворчества, законы начинают противоречить друг другу. Что мы сейчас и наблюдаем. Никогда нельзя создать такую правовую систему, которая прописала бы все стороны жизни. И с другой стороны, была бы справедливой для всех. Потому что всегда будет вылезать ограниченность нашего представления о мире. И человеческие законы начнут в какой-то момент входить в противоречие с законами Вселенной. Многие вещи мы понимаем интуитивно. Также интуитивно мы должны судить и о поступках других людей. Государству достаточно иметь конституцию. И опираясь на статьи этой конституции, регулировать взаимоотношения в обществе. Но рано или поздно, придётся менять и конституцию.
ЕГЭ — это ещё один пример ошибочности наших представлений о возможностях человека. Мы пытаемся проверять на экзамене вычислительные возможности мозга. Но интуитивные возможности в школе перестали развивать. Но человек — не биоробот. Нельзя создать систему баллов, которая бы смогла выявить все возможности, заложенные в человеке, в его сознании, в его подсознании и в его психике.
Почти 100 лет назад Гёдель сделал невероятной шаг в понимании законов Вселенной. А мы до сих пор не смогли этим воспользоваться, рассматривая эту теорему как узкоспециализированную математическую задачку для узкого же круга людей, занимающихся какими-то отвлечёнными темами в своём кругу. Вместе с квантовой теорией и учением Христа теорема Гёделя даёт возможность нам вырваться из плена ложных догм, преодолеть тот кризис, который пока ещё сохраняется в нашем мировоззрении. А времени остаётся всё меньше.
Теория противоречивости бытия
Александр Музыкантский
Когда речь заходит о самых выдающихся открытиях ХХ века, обычно называют теорию относительности Эйнштейна, квантовую механику, принцип неопределенности Гейзенберга. Однако многие крупные ученые — математики и философы — к числу величайших достижений научной мысли минувшего столетия относят и теорему Гёделя. Ведь если эпохальные прорывы в области физики дали возможность человеческому разуму постичь новые законы природы, то работа Гёделя позволила лучше понять принципы действия самого человеческого разума, и оказала глубокое влияние на мировоззрение и культуру нашей эпохи.
Кто же такой Гёдель?
Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Австро-Венгрии, в моравском городе Брно (в ту пору он назывался Брюнн). В 18 лет он поступил в Венский университет, где сначала изучал физику, но через два года переключился на математику. Известно, что такая смена научных интересов произошла во многом под влиянием книги Бертрана Рассела «Введение в философию математики». Еще одним источником, оказавшим существенное влияние на формирование Гёделя как ученого, было его участие в работе «Венского кружка». Под этим именем в историю науки вошло собрание блестящих ученых — математиков, логиков, философов, которые регулярно собирались в Вене с конца 20-х и до середины 30-х гг. прошлого века. В работе Венского кружка в разное время участвовали такие ученые, как Рудольф Карнап, Отто Нейрат, Герберт Фейгль, Мориц Шлик. С их деятельностью связывают становление философского позитивизма. Но фактически тематика кружка охватывала осмысление общего места научного знания в познании природы и общества. Несколько международных конференций, организованных в разных европейских научных центрах, позволяют говорить о выдающейся роли, которую сыграл венский кружок в становлении фундаментального научного знания ХХ века. Курт Гёдель принимал участие практически во всех «четверговых» заседаниях кружка и в организованных им международных конференциях. Деятельность кружка в Австрии прервалась в 1936 году, когда его руководитель Мориц Шлик был убит студентом-нацистом на ступенях Венского университета. Большинство членов кружка эмигрировали в США. Туда же перебрался и Курт Гёдель. Со временем он получил американское гражданство, работал в Институте высших исследований в Принстоне. В том же городе он и умер в 1978 году. Такова была внешняя канва его жизни. Знакомые и коллеги по работе запомнили его как человека замкнутого, болезненно ранимого, отрешенного от окружающего мира, полностью погруженного в свои мысли.
Курт Гёдель (1906—1978). Фото: «В мире науки»
О том, что логическое постижение мира занимало главное место в жизни ученого, говорит любопытная деталь его биографии. В 1948 году, когда решался вопрос о получении им американского гражданства, Гёдель должен был в соответствии с принятой процедурой сдать что-то вроде устного экзамена по азам американской конституции. Подойдя к вопросу со всей научной добросовестностью, он досконально изучил документ, и пришел к выводу, что в США законным путем, без нарушения конституции может быть установлена диктатура. Подобное открытие чуть не стоило ему провала на испытаниях, когда он вступил в дискуссию с принимавшим зачет чиновником, который, разумеется, считал основной закон своего государства величайшим достижением политической мысли. Друзья, среди которых был Альберт Эйнштейн, выступивший одним из двух поручителей Гёделя при получении им гражданства, уговорили его повременить с развертыванием своей аргументации хотя бы до принесения присяги. Позднее история получила любопытный эпилог: четверть века спустя другой американец, Кеннет Эрроу, удостоился Нобелевской премии за доказательство в общем виде утверждения, к которому пришел Гёдель, изучив американскую конституцию.
Что же доказал Гёдель?
Прежде чем перейти к изложению теоремы, обессмертившей имя Гёделя, необходимо хотя бы вкратце рассказать о том, перед какими проблемами оказалась к концу 20-х годов прошлого века математика, точнее, ее раздел, выделившийся на рубеже XIX—ХХ вв. и получивший название «основания математики».
Но вначале, пожалуй, стоит остановиться на школьном курсе геометрии, который и сейчас во многом повторяет «Начала» Евклида, написанные более 2 тыс. лет тому назад. В традиционных учебниках сначала приводятся некоторые утверждения (аксиомы) о свойствах точек и прямых на плоскости, из них путем логического построения в соответствии с правилами «аристотелевской» логики выводится справедливость разных важных и полезных геометрических фактов (теорем). Например, одна из аксиом утверждает, что через две точки проходит одна и только одна прямая, другое утверждение — знаменитый пятый постулат, от которого отказался Лобачевский в своей неевклидовой геометрии, — касается параллельных прямых, и т. д. Истинность аксиом принимается как нечто очевидное и не требующее доказательств. Заслуга греческого геометра в том, что он постарался изложить всю науку о пространственном расположении фигур как набор следствий, вытекающих из нескольких базовых положений.
В конце XIX века все пробелы евклидовых «Начал» (с точки зрения возросших требований математиков к строгости и точности своих рассуждений) были заполнены. Итогом новейших исследований стала книга немецкого математика Давида Гильберта «Основания геометрии».
Успех методики Евклида побудил ученых распространить его принципы и на другие разделы математики. После геометрии настала очередь арифметики. В 1889 году итальянский математик Джузеппе Пеано впервые сформулировал аксиомы арифметики, казавшиеся до смешного очевидными (существует нуль; за каждым числом следует еще число и т. д.), но на самом деле абсолютно исчерпывающие. Они играли ту же роль, что и постулаты великого грека в геометрии. Исходя из подобных утверждений, с помощью логического рассуждения можно было получить основные арифметические теоремы.
В тот же период немецкий математик Готлиб Фреге выдвинул еще более амбициозную задачу. Он предложил не просто аксиоматически утвердить основные свойства исследуемых объектов, но и формализовать, кодифицировать сами методы рассуждений, что позволяло записать любое математическое рассуждение по определенным правилам в виде цепочки символов. Свои результаты Фреге опубликовал в труде «Основные законы арифметики», первый том которого вышел в 1893 году, а второй потребовал еще десяти лет напряженной работы и был полностью завершен лишь в 1902 году.
С именем и научными изысканиями Фреге связана, пожалуй, одна из самых драматических историй в развитии науки о числах. Когда второй том был уже в печати, ученый получил письмо от молодого английского математика Бертрана Рассела. Поздравив коллегу с выдающимися результатами, Рассел, тем не менее, указал на одно обстоятельство, прошедшее мимо внимания автора. Коварным «обстоятельством» был получивший впоследствии широкую известность «парадокс Рассела», представлявший собой вопрос: будет ли множество всех множеств, не являющихся своими элементами, своим элементом? Фреге не смог немедленно разрешить загадку. Ему не оставалось ничего другого, как только добавить в послесловии к выходящему из печати второму тому своей книги полные горечи слова: «Вряд ли что-нибудь может быть более нежелательным для ученого, чем обнаружить, что основания едва завершенной работы рухнули. Письмо, полученное мной от Бертрана Рассела, поставило меня именно в такое положение…» Огорченный математик взял академический отпуск в своем университете, потратил массу сил, пытаясь подправить свою теорию, но всё было тщетно. Он прожил еще более двадцати лет, но не написал больше ни одной работы по арифметике.
Однако Расселу удалось вывести вариант формальной системы, позволяющий охватить всю математику и свободный от всех известных к тому времени парадоксов, с опорой именно на идеи и работы Фреге. Полученный им результат, опубликованный в 1902 году в книге Principia Mathematica (написанной совместно с Алфредом Нортом Уайтхедом), фактически стал аксиоматизацией логики, а Давид Гильберт считал, что его «можно рассматривать как венец всех усилий по аксиоматизации науки».
Была и еще одна причина столь пристального интереса математиков к основаниям своей дисциплины. Дело в том, что на рубеже XIX и ХХ столетий в теории множеств были обнаружены противоречия, для обозначения которых был придуман эвфемизм «парадоксы теории множеств». Наиболее известный из них — знаменитый парадокс Рассела — был, увы, не единственным. Более того, для большинства ученых было очевидно, что за открытием новых странностей дело не станет. Их появление оказало на математический мир, по выражению Гильберта, «катастрофическое воздействие», поскольку теория множеств играла роль фундамента, на котором возводилось всё здание науки о числах. «Перед лицом этих парадоксов надо признать, что положение, в котором мы пребываем сейчас, на длительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце надежности и истинности — понятия и умозаключения, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же тогда искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?», — сокрушался Гильберт в своем докладе на съезде математиков в июне 1925 года.
Таким образом, впервые за три тысячелетия математики вплотную подошли к изучению самых глубинных оснований своей дисциплины. Сложилась любопытная картина: любители цифр научились четко объяснять, по каким правилам они ведут свои вычисления, им оставалось лишь доказать «законность» принятых ими оснований с тем, чтобы исключить любые сомнения, порождаемыми злополучными парадоксами. И в первой половине 20-х годов великий Гильберт, вокруг которого сложилась к тому времени школа блестящих последователей, в целой серии работ наметил план исследований в области оснований математики, получивший впоследствии название «Геттингенской программы». В максимально упрощенном виде ее можно изложить следующим образом: математику можно представить в виде набора следствий, выводимых из некоторой системы аксиом, и доказать, что:
- Математика является полной, т.е. любое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть, основываясь на правилах самой дисциплины.
- Математика является непротиворечивой, т.е. нельзя доказать и одновременно опровергнуть какое-либо утверждение, не нарушая принятых правил рассуждения.
- Математика является разрешимой, т.е., пользуясь правилами, можно выяснить относительно любого математического утверждения, доказуемо оно или опровержимо.
Фактически программа Гильберта стремилась выработать некую общую процедуру для ответа на все математические вопросы или хотя бы доказать существование таковой. Сам ученый был уверен в утвердительном ответе на все три сформулированные им вопроса: по его мнению, математика действительно была полной, непротиворечивой и разрешимой. Оставалось только это доказать.
Более того, Гильберт полагал, что аксиоматический метод может стать основой не только математики, но и науки в целом. В 1930 году в статье «Познание природы и логика» он писал: «…даже в самых обширных по своему охвату областях знания нередко бывает достаточно небольшого числа исходных положений, обычно называемых аксиомами, над которыми затем чисто логическим путем надстраивается всё здание рассматриваемой теории».
Какими были бы для дальнейшего развития науки последствия успеха Гильберта и его школы? Если бы, как он считал, вся математика (и наука в целом) сводилась к системе аксиом, то их можно было бы ввести в вычислительную машину, способную по программе, следующей общим логическим правилам, обосновать любое утверждение (то есть доказать теорему), вытекающее из исходных утверждений.
Будь теория Гильберта реализована, работающие в круглосуточном режиме суперкомпьютеры непрерывно доказывали бы всё новые и новые теоремы, размещая их на бесчисленных сайтах «всемирной паутины». Вслед за математикой «аксиоматическая эпоха» наступила бы в физике, химии, биологии и, наконец, очередь дошла бы и до науки о человеческом сознании. Согласитесь, окружающий нас мир, да и мы сами, выглядели бы в подобном случае несколько иначе.
Однако «вселенская аксиоматизация» не состоялась. Вся суперамбициозная, грандиозная программа, над которой несколько десятилетий работали крупнейшие математики мира, была опровергнута одной-единственной теоремой. Ее автором был Курт Гёдель, которому к тому времени едва исполнилось 25 лет.
В 1930 году на конференции, организованной «Венским кружком» в Кенигсберге, он сделал доклад «О полноте логического исчисления», а в начале следующего года опубликовал статью «О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах». Центральным пунктом его работы были формулировка и доказательство теоремы, которая сыграла фундаментальную роль во всём дальнейшем развитии математики, и не только ее. Речь идет о знаменитой теореме Гёделя о неполноте. Наиболее распространенная, хотя и не вполне строгая ее формулировка утверждает, что «для любой непротиворечивой системы аксиом существует утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто». Тем самым Гёдель дал отрицательный ответ на первое утверждение, сформулированное Гильбертом.
Любопытно, что на этой же конференции с докладом на тему «Каузальное знание и квантовая механика» выступил Вернер Гейзенберг. В этом докладе были намечены первые подходы к его знаменитым «соотношениям неопределенности».
Выводы Гёделя произвели в математическом сообществе эффект интеллектуальной бомбы. Тем более что вскоре на их основе были получены опровержения двух других пунктов программы Гильберта. Оказалось, что математика неполна, неразрешима, и ее непротиворечивость нельзя доказать (в рамках той самой системы, непротиворечивость которой доказывается).
Теорема Гёделя
С тех пор прошло три четверти века, но споры о том, что же всё-таки доказал Гёдель, не утихают. Особенно жаркие прения идут в околонаучных кругах. «Теорема Гёделя о неполноте является поистине уникальной. На нее ссылаются всякий раз, когда хотят доказать «всё на свете» — от наличия богов до отсутствия разума», — пишет выдающийся современный математик В. А. Успенский.
Если оставить в стороне многочисленные подобные спекуляции, то нужно отметить, что ученые разделились в вопросе оценки роли Гёделя на две группы. Одни вслед за Расселом считают, что знаменитая теорема, которая легла в основу современной математической логики, тем не менее, оказала весьма незначительное влияние на дальнейшую работу за пределами данной дисциплины — математики как доказывали свои теоремы в «догёделевскую» эпоху, так и продолжают доказывать их и по сей день.
Что же касается фантасмагорического видения компьютеров, непрерывно доказывающих всё новые теоремы, то смысл подобной деятельности у многих специалистов вызывает большое сомнение. Ведь для математики важна не только формулировка доказанной теоремы, но и ее понимание, поскольку именно оно позволяет выявить связь между различными объектами и понять, в каком направлении можно двигаться дальше. Без такого понимания теоремы, генерируемые на основе правил формализованного вывода, представляют собой лишь своего рода «математический спам», — таково мнение сотрудника кафедры математической логики и теории алгоритмов мехмата МГУ Александра Шеня.
Похожим образом рассуждал и сам Гёдель. Тем, кто упрекал его в разрушении целостности фундамента математики, он отвечал, что по сути ничего не изменилось, основы остались по-прежнему незыблемыми, а его теорема привела лишь к переоценке роли интуиции и личной инициативы в той области науки, которой управляют железные законы логики, оставляющие, казалось бы, мало места для подобных достоинств.
Гёдель и Эйнштейн (фото: «В мире науки»)
Однако некоторые ученые придерживаются другого мнения. Действительно, если считать умение логически рассуждать основной характеристикой человеческого разума или, по крайней мере, главным его инструментом, то теорема Гёделя прямо указывает на ограниченность возможностей нашего мозга. Согласитесь, что человеку, воспитанному на вере в бесконечное могущество мысли, очень трудно принять тезис о пределах ее власти.
Скорее уж речь может идти об ограниченности наших представлений о собственных ментальных возможностях. Многие специалисты полагают, что формально-вычислительные, «аристотелевские» процессы, лежащие в основе логического мышления, составляют лишь часть человеческого сознания. Другая же его область, принципиально «невычислительная», отвечает за такие проявления, как интуиция, творческие озарения и понимание. И если первая половина разума подпадает под гёделевские ограничения, то вторая от подобных рамок свободна.
Наиболее последовательный сторонник подобной точки зрения — крупнейший специалист в области математики и теоретической физики Роджер Пенроуз — пошел еще дальше. Он предположил существование некоторых квантовых эффектов невычислительного характера, обеспечивающих реализацию творческих актов сознания. И хотя многие его коллеги критически относятся к идее наделить человеческий мозг гипотетическими квантовыми механизмами, Пенроуз со своими сотрудниками уже разработал схему эксперимента, который должен, по их мнению, подтвердить их наличие.
Одним их многочисленных следствий гипотезы Пенроуза может стать, в частности, вывод о принципиальной невозможности создания искусственного интеллекта на основе современных вычислительных устройств, даже в том случае, если появление квантовых компьютеров приведет к грандиозному прорыву в области вычислительной техники. Дело в том, что любой компьютер может лишь всё более детально моделировать работу формально-логической, «вычислительной» деятельности человеческого сознания, но «невычислительные» способности интеллекта ему недоступны.
Такова лишь небольшая часть естественнонаучных и философских споров, вызванных опубликованной 75 лет назад математической теоремой молодого Гёделя. Вместе с другими великими современниками он заставил человека иначе взглянуть на окружающий мир и на самого себя. Величайшие открытия первой трети ХХ века, в том числе теорема Гёделя, а также создание теории относительности и квантовой теории, показали ограниченность механистически-детерминистской картины природы, созданной на основе научных исследований двух предшествующих столетий. Оказалось, что и пути развития мироздания, и нравственные императивы подчиняются принципиально другим закономерностям, где имеют место и неустранимая сложность, и неопределенность, и случайность, и необратимость.
Однако последствия великого научного переворота не исчерпываются уже упомянутыми. К началу ХХ века идеи лапласовско-ньютоновского детерминизма оказывали огромное влияние на развитие общественных наук. Вслед за корифеями классического естествознания, представлявшими природу в виде жесткой механической конструкции, где все элементы подчиняются строгим законам, а будущее может быть однозначно предсказано, если известно текущее состояние, жрецы деятели общественных наук рисовали человеческое общество, подчиненное непреложным закономерностям и развивающееся в заранее заданном направлении. Одной из последних попыток сохранить подобную картину мира был, по-видимому, марксизм-ленинизм, приверженный концепции «единственно верного научного учения», составной частью которого было «материалистическое понимание истории». Достаточно вспомнить ленинскую идею построения социалистического общества по типу «большой фабрики».
Постепенно с огромным трудом идеи о сложности, случайности, неопределенности, утвердившиеся в естественнонаучной картине мироздания, стали проникать и в социальные и гуманитарные науки. В обществе непредрешенность реализуется через феномен личной свободы индивидуума. Именно присутствие в природе человека в качестве субъекта, осуществляющего вольный и непредсказуемый выбор, делает исторический процесс сложным и не подчиняющимся никаким непреложным законам вселенского развития.
Однако нельзя не заметить, что обретение новой картины сложного мира в нашей стране происходило с огромным трудом. Господствовавшая семь десятилетий идеология тяготела к детерминизму лапласовского типа как философии всеобщего авторитарного порядка. Именно такой принцип предопределенности лежал в основе мечты, никогда не покидавшей правящую советскую бюрократию, об обществе-фабрике, управляемой жесткими законами иерархии. И поэтому всякий раз, как речь заходила о сложности, плюрализме, разнообразии, будь то теория относительности, квантовая механика, генетика, кибернетика, социологические исследования, психоанализ и т. д., — сразу включался механизм идеологической цензуры, который имел своей целью изгнать все упоминания о свободе и из природы, и из общества. Увы, косное наследие до сих пор мрачной тенью довлеет над умами многих наших соотечественников и современников. Свидетельством тому — инициируемые властью мучительные поиски новой «национальной идеологии», которая могла бы занять место, освободившееся в связи с кончиной коммунистической доктрины.
Так Курт Гёдель и его великие современники заставили нас по-новому взглянуть и на «звездное небо над головой, и на нравственный закон внутри нас», и на общество, в котором мы живем.
Обсуждение Еще не было обсуждений.
Последнее редактирование: 2018-04-19
Оценить статью >> пока еще нет оценок, ваша может стать первой 🙂
Об авторе:
Этот материал взят из в свободном доступе интернета. Вся грамматика источника сохранена.
Тест: А не зомбируют ли меня? Тест: Определение веса ненаучности
Последняя из новостей: Популярное обобщение современных фактических данных исследований психофизиологии: Что такое «Я».
Если ты такой умный, то почему не богатый?
Богатейший человек мира рассказал о перевернувшем его жизнь моменте.
Scisne?
Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.
В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.
Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.
И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:
«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».
Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.
Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.
Итак, формулировка первой,или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».
Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.
Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?
Курт ГЁДЕЛЬ
Kurt Gödel, 1906–78
Австрийский, затем американский математик. Родился в г. Брюнн (Brünn, ныне Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где и остался преподавателем кафедры математики (с 1930 года — профессором). В 1931 году опубликовал теорему, получившую впоследствии его имя. Будучи человеком сугубо аполитичным, крайне тяжело пережил убийство своего друга и сотрудника по кафедре студентом-нацистом и впал в глубокую депрессию, рецидивы которой преследовали его до конца жизни. В 1930-е годы эмигрировал было в США, но вернулся в родную Австрию и женился. В 1940 году, в разгар войны, вынужденно бежал в Америку транзитом через СССР и Японию. Некоторое время проработал в Принстонском институте перспективных исследований. К сожалению, психика ученого не выдержала, и он умер в психиатрической клинике от голода, отказываясь принимать пищу, поскольку был убежден, что его намереваются отравить.
swpanurg
Онтологический аргумент, обосновывающий бытие бога, впервые видимо прозвучал в XII веке у Ансельма Кентрберийского, который сказал по существу следующее: «Бог — это то, больше чего помыслить нельзя. Бог существует в понимании. Тогда можно вообразить его больше, а именно существующим и в реальности. Значит, он должен существовать и в реальности.»
Это рассуждение критиковали многие и весьма компетентно, а некоторые — развивали. Имена части участников дискуссии говорят сами за себя: Фома Аквинский (объявил доказательство неверным, чем предопределил отношение к нему теологов, в среде которых его авторитет был непререкаем), Лейбниц (полагал, что его можно сделать состоятельным, несколько дополнив), Кант (считал, что опроверг аргументацию Ансельма полностью), Декарт, наконец Гёдель, который оставил свой вариант доказательства, развивающего аргументацию Св. Ансельма и Лейбница. О Гёделевском доказательстве речь и пойдет.
В оригинале это примерно 20 строчек в формате матлогики. История текста интересна сама по себе и о ней стоило бы сказать отдельно, но пока, «по просьбе группы товарищей», я приведу просто перевод Гёделевских формул на «человеческий» язык. Почти подстрочник. Комментарии . Картинки кликабельны, сделать их лучшего качества я не сумел. Маленькие вырезаны из большой. Известно по крайней мере 2 (наверное больше) варианта записи доказательства Гёделя, они несколько различаются формулировками аксиом и нотацией. Я взял то, которое из Оксфордского издания его работ.
Гёделем история, разумеется, не заканчивается. Его доказательство (оно датировано 1970-м годом) тоже нашло своих критиков и интерпретаторов. Впрочем, и это совершенно не увидительно, если принять во внимание личность автора, никто, похоже, не сомневается что оно верно в рамках принятой формальной модели. Вопрос только один: как эту модель интерпретировать. Иными словами, все верят, что что-то Гёдель доказал, но вот что именно — не так чтобы ясно.
Итак,
Онтологическое доказательство
(*1970)
10-е февраля 1970 г.
Перевод:
Пусть φ — позитивно
1.Аксиома 1: Если φ и ψ оба позитивны, то (φ и ψ) также позитивно, и так для любого количества
2.Аксиома 2: Позитивно или φ или (не φ); “или” в данном утверждении эксклюзивное
3. Определение 1: «x – божество» , означает, что x обладает всеми позитивными качествами.
4.Определение 2: Назовем φ сущностью х, если для любого ψ верно следующее: если х обладает ψ, то из этого необходимо следует, что для каждого y если y обладает φ, то он обладает и ψ. Сноска: любые 2 сущности х с необходимостью эквивалентны.
5.Следующая строка — обозначение для «необходимо следует». «q необходимо следует из p» означает что утверждение “p влечет за собой q” является необходимой истиной
6.Аксиома 3: Если φ позитивно, то φ позитивно с необходимостью, и если φ не позитивно, то это также верно с необходимостью, поскольку это следует из природы данного свойства.
7.Теорема: Если х обладает божественностью, то это качество — его сущность.
8.Определение: х «необходимо существует» если для каждого φ верно следующее: если φ является сущностью х, то необходимой истиной явлется тот факт, что существует х такое, что х обладает φ.
9.Аксиома 4: «Необходимое существование» позитивно.
10.- 14. (следующие 4 строки) — основная теорема. Понимать эти строки надо так:
Существование объекта, обладающего качеством божественности, возможно .
Такой объект обладает качеством необходимого существования. .
Значит, такой объект должен существовать во всех возможных мирах .
Если х обладает качеством божественности, то существование такого объекта необходимо.
Математик Курт Гёдель предоставил формальные аргументы существования Бога. Его аргументы были опубликованы намного позже, после его смерти. Он привел аргументы, основанные на модальной логике; он использовал концепцию свойств, которые в итоге приводят к существованию Бога.
Эта теорема не доказывает существование Бога, а только возможность того, что исходя из модальной логики всемогущее существо может существовать.
Определение 1: «X» является богоподобным, тогда и только тогда, если все его свойства положительные. Определение 2: «А» является свойством «X» тогда и только тогда, если для каждого свойства «B», «B» имеет свой «X», и «A» вытекает из «B». Определение 3: «X» обязательно существует тогда и только тогда, если все его составляющие однозначно определены. Аксиома 1: Если свойство положительно, то его обратное не является положительным. Аксиома 2: Любые главные свойства строятся на основных свойства, то есть главное свойство — позитивно, только если все основные — позитивны. Аксиома 3: Свойства Богоподобности всегда положительные. Аксиома 4: Если главное свойство — положительное, то все его составляющие — положительные. Аксиома 5: Существование — положительное свойство Аксиома 6: Для любого главного свойства «P», если «P» положительно, то его свойства положительны. Теорема 1: Если свойство положительно, то это можно доказать. Вывод 1: Свойство быть Богоподобным — постоянно. Теорема 2: Если что-то Богоподобное, то оно должно существовать. Теорема 3: Богоподобность всегда можно доказать.
Гёдель объяснил термин «богоподобный», как имеющий только положительные свойства. Он оставил термин «позитивный» неопределенным. Гёдель считал, что это понимается как эстетическое и нравственное чувство, как противоположность лишения (отсутствие необходимых качеств во Вселенной). Он говорил, что «положительный» не стоит трактовать как эстетически «хорошо», так как понятие «хорошо» растяжимо и включает в себя и негативные характеристики. Вместо этого, он предположил, что «положительный» следует интерпретировать как совершенство или «исключительно хорошо», без отрицательных характеристик.
Гёдель писал теоремы, опираясь на аксиомы, поэтому основная часть критики фокусировалась на его аксиомах и допущениях. Некоторые философы подвергали критике его основы модальной логики, когда другие критиковали его широкое понятие свойств. Оппи говорил, что Гёдель так и не дал определения «положительным свойствам». Он предположил, что если эти положительные свойства образуют множество, то нет причин полагать, что любое такое существующее множество теологически интересно, или, что есть только один набор положительных свойств, которые теологически интересны.
Для справки:
Онтологический аргумент или Онтологическое доказательство бытия Бога — это одна из категорий аргументов, относящихся к вопросу существования Бога, появившаяся в христианской теологии. Не существует точных критериев для классификации онтологических аргументов, но аргументы типично начинаются с определения Бога, а заканчиваются подведением итогов о необходимости его существования, используя главным образом причины априори и эмпирические наблюдения.