Сергей Смирнов
Дата: 20.11.2014
Содержание
Таблица производных.
Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.
Это знакомство позволит:
— понимать суть несложных заданий с производной;
— успешно решать эти самые несложные задания;
— подготовиться к более серьёзным урокам по производной.
Сначала — приятный сюрприз.)
Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!
Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.
Приступим к знакомству?)
Термины и обозначения.
В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.
Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.
Дифференцирование — действие над функцией.
Производная — результат этого действия.
Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.
Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.
Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y’ или f'(x) или S'(t) и так далее.
Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)
Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.
Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:
1. Таблица производных (формулы дифференцирования).
2. Правила дифференцирования.
3. Производная сложной функции.
Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.
В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.
Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)
Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.
Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)
Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету…
Рассмотрим несколько примеров:
1. Найти производную функции y = x3
Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:
(x3)’ = 3·x3-1 = 3×2
Вот и все дела.
Ответ: y’ = 3×2
2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.
Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция.
По табличке находим синус и соответствующую производную:
y’ = (sin x)’ = cosx
Подставляем ноль в производную:
y'(0) = cos 0 = 1
Это и будет ответ.
3. Продифференцировать функцию:
Что, внушает? ) Такой функции в таблице производных и близко нет.
Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…
Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла, то всё сразу налаживается!
Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:
Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx. А это — табличная функция. Сразу получаем:
Ответ: y’ = — sin x.
Пример для продвинутых выпускников и студентов:
4. Найти производную функции:
Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:
А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:
Вот и всё. Это будет ответ.
Возможность появления на автомобиле такого мистического набора цифр кого-то испугала, а кого-то возмутила. Однако в ГИБДД Свердловской области поспешили всех успокоить и заявили, что код «666» никому присваивать не будут. Номеров с кодом 196 хватит не на один год, сообщили ТАСС в пресс-службе управления. На сегодняшний день в регионе действуют автомобильные номера с кодом «66», «96» и «196».
О поправках в приказ МВД № 766, которые позволяют дополнительно к коду региона добавлять в начале любую цифру от 1 до 9, «РГ» писала еще в феврале. До сих пор в качестве первой цифры можно было использовать только «1» или «7». Расширение кода региона до трех цифр увеличит емкость номеров.
Когда к номеру добавляли «1» и «7», то исходили из того, что это самые узкие цифры, которые не требуют увеличения поля, в котором печатается код региона. Но сейчас МВД на практике проверило, что даже широкие цифры влезают в выделенное пространство. Как сообщил корреспонденту «РГ» один из сотрудников Госавтоинспекции МВД России, «передо мной на столе лежит знак с кодом региона «444», и все прекрасно помещается». Цифра «4» — самая широкая из всех, что используются в регистрационных знаках. То есть изменений в ГОСТ по регистрационным знакам для введения в действие этого приказа не потребуется. Код «44» — это Кострома. Так что стоит ожидать появления там автомобилей, в знаках которых появится «444» в коде региона.
Под каждым кодом возможно 1,78 миллиона комбинаций номеров. В столице зарегистрировано 4,7 миллиона автомобилей и действует 8 кодов
Да, в столице возникали ситуации с дефицитом номеров. Поэтому вводились дополнительные цифры в знаке. Но после того, как появилась возможность сохранять при покупке автомобиля прежний номер, а также использовать номера, которые вышли из употребления, проблема с дефицитом отпала.
Как пояснили корреспонденту «РГ» в Госавтоинспекции, поправки в приказ были необходимы для того, чтобы исключить из перечня регионов те, которые перестали существовать после объединения. Поэтому приказ привели в соответствие с действующим федеративным делением, а заодно и расширили количество возможных комбинаций номеров для регионов. Не из-за того, что возник дефицит знаков, а с заделом на будущее, чтобы его не возникло вообще.
Надо сказать, что производители знаков не уверены в том, что любая цифра влезет в отведенное для региона поле. Некоторые утверждают, что для выдавливания широких цифр потребуется более толстая пластина, что приведет к удорожанию госномера. Но в ГИБДД так не считают.
Напомним, что с 1 января вступил в силу закон о регистрации транспортных средств. В соответствии с ним понятия «госномер» и «регистрационный знак» теперь разделены. ГИБДД присваивает госномер и выдает знак, если собственник транспорта зарегистрирован в том же регионе, где он ставит на учет машину. А если он зарегистрирован в другом регионе, то ГИБДД присваивает номер, а знак автовладелец должен изготовить самостоятельно в организации, которая этим занимается. Так что в этом случае стоимость знака МВД не беспокоит.
При этом федеральная антимонопольная служба установила предельную стоимость комплектов номеров. Для автомобиля это не более 2 тысяч рублей. А для мотоциклов — 1500 рублей.
Надо сказать, что некие предпосылки для появления дефицита номеров также создал этот вступивший в силу закон. Ведь автовладельцы, согласно ему, получают номера с кодом региона, в котором проживают. То есть житель Твери не может получить знаки с кодом региона Москвы.
Рассмотрим несколько ситуаций. Житель Твери купил новую машину в Москве и решил тут же в Москве поставить ее на учет в ГИБДД. Автомобиль ему зарегистрируют, но присвоят номер с кодом Тверской области — «69» или «169». Знак с таким номером он должен будет купить в организации, которая изготавливает эти металлические пластины.
Или он купил в Москве автомобиль со столичным номером, приехал на нем в Тверь и зарегистрировал в ГИБДД на себя. В этой ситуации в ГИБДД в Твери ему присвоят номер и выдадут знак с кодом Тверского региона. Других вариантов не дано. Сохранить за собой номер с московским кодом региона у него не будет возможности.
Таким образом старый номер вернется в базу московских номеров. Но в конечном итоге такая процедура требует выделения дополнительных номеров под машины из другого региона, чего до 1 января этого года не требовалось. В любом случае, пока запаса номеров хватает.
Практика показывает, что если тире или кавычки — это первое, что изучают при появлении интереса к «типографике» (а на самом деле — к грамотному набору текста), то правильное употребление апостро́фа, знаков минут и секунд, знака ударения вызывает почему-то бо́льшие затруднения. На самом деле, всё очень просто, и статья будет довольно короткой. Всё, о чём будет сказано ниже, относится к современной русской традиции типографики.
Штрихи на клавиатуре
На стандартной PC-клавиатуре есть три символа со штрихами: «‘» и «»» на кнопке вместе с русской «э», а также «`» на периферийной кнопке с буквой «ё».
Ни один из этих символов не используется при нормальном, грамотном наборе текста. Однако, нельзя отрицать важность символов «‘» и «»» при программировании и вёрстке HTML, чего мы делать и не будем.
| ‘ | U+0027 | апостро́ф | Этот знак действительно называется «APOSTROPHE» в Unicode, находится там, потому что так исторически сложилось в кодировке ASCII. Стандарт Unicode специально подчёркивает, что символ U+0027 имеет широкое использование, а собственно в роли апострофа должен выступать другой знак, о котором речь пойдёт ниже. |
| « | U+0022 | кавычка | Просто «кавычка», «QUOTATION MARK». Имеет широкое использование, но в качестве собственно текстовых кавычек рекомендованы другие символы, о которых речь также пойдёт ниже. |
| ` | U+0060 | гра́вис | Гравис используется для того, чтобы акцентировать гласные в некоторых европейских языках: французском (déjà vu), итальянском (virtù), португальском, валлийском (mẁg) и других. Таким образом, гравис совершенно не употребляется в современном русском языке, а также не имеет никакого отношения к апострофам или кавычкам. |
Ошибки трактования этих знаков встречаются достаточно часто. В «Живой типографике» символ «»» спутан со знаком секунды (о котором я также расскажу ниже), в некоторых пособиях гравис называют обратным апострофом, и так далее.
Я предлагаю называть по-русски «‘» стандартным или машинописным апострофом, «»» — стандартной или машинописной кавычкой, а «`», как ему и положено, грависом.
Правильные кавычки
О кавычках я писал в статье Оформление цитат на сайтах, но будет нелишним напомнить ещё раз, поразвёрнутее.
| « | U+00AB | открывающая кавычка-ёлочка |
Вот они, настоящие, правильные, традиционные кавычки-ёлочки. Именно так должны выглядеть основные кавычки в русскоязычном текстовом наборе. Они не должны отбиваться пробелами от текста, который они окружают. |
| « | U+00BB | закрывающая кавычка-ёлочка |
|
| « | U+201E | открывающая кавычка-лапка |
А это — настоящие традиционные кавычки второго рисунка, «лапки». Именно так должны выглядеть вложенные кавычки в русскоязычном текстовом наборе. Они также не отбиваются пробелами от окружённого ими текста. Так уж сложилось, что кавычки-лапки заимствованы из немецкой типографики, а Unicode базировался на типографике американской. Поэтому наша открывающая кавычка называется в Unicode просто «двойной нижней из девяток» (потому что запятые обращены вниз и похожи на две цифры 9), а наша закрывающая кавычка наоборот называется «двойной открывающей». |
| « | U+201C | закрывающая кавычка-лапка |
|
| ‘ | U+2018 | открывающая ма́рровская кавычка |
«Марровская» — это, пожалуй, жаргонизм. Правильно эти кавычки называются английскими одинарными. Эти кавычки используются только в филологии, где их ввёл в первой половине XX века академик Н. Я. Марр. Они используются для того, чтобы обозначить некоторое слово, значение слова или его происхождение («от латинского appellatio ‘сообщение’», «со словом ‘посёлок’ не склоняется»). Найти марровские кавычки можно в любом содержательном словаре, но обычному человеку (не филологу) эти кавычки употреблять не нужно, потому что незачем. В некотором смысле, это узкоспециальные знаки. |
| ’ | U+2019 | закрывающая ма́рровская кавычка |
Я предлагаю называть кавычки либо по рисунку (кавычки-ёлочки, кавычки-лапки, марровские кавычки), либо собирательно «традиционные кавычки», чтобы отличать их от стандартной (машинописной) кавычки, которая есть у нас на клавиатуре.
Стоит упомянуть, что в шрифте Verdana в MS Windows (в том числе и в версии 5.01) закрывающая кавычка-лапка (она же открывающая двойная английская кавычка) имеет неправильный рисунок (штрихи развёрнуты вниз, а не вверх), так что не пугайтесь.
Апостроф
| ’ | U+2019 | апостро́ф | Кажется, мы это только что видели? Бинго! Для апострофа Unicode рекомендует к использованию тот же самый символ, который является английской одинарной закрывающей кавычкой (он же — закрывающая марровская кавычка). |
В русском языке апостроф используется достаточно редко. В основном — в иностранных именах, где в родном языке стоит апостроф: Д’Артаньян, Сара О’Коннор, и так далее. Сейчас учащается использование апострофа при наращении иностранных слов и наименований, не транскрибированных на русский: «Intel’овский процессор», «скинуть e-mail’ом». Раньше такое употребление считалось неверным, но норма языка изменилась на наших глазах, и теперь такое употребление допустимо.
Я предлагаю называть этот апостроф традиционным апострофом, в отличие от стандартного (машинописного) апострофа. Традиционный апостроф включён в ряд «типографских» раскладок клавиатуры и доступен для набора с клавишей AltGr.
Наверное, стоит упомянуть, что в Unicode есть ещё апостроф-буква (U+02BC), который имеет семантику именно буквы, а не орфографического знака. Апостроф используется в качестве буквы в некоторых языках, но к русскому это отношения не имеет.
Знак ударения
| ´ | U+0301 | знак ударения, аку́т |
Знак ударения используется, чтобы отличать слова «стои́т» и «сто́ит», «больша́я» и «бо́льшая», «уже́» и «у́же», и так далее. Разумеется, акут надо ставить только в том случае, когда возможны разночтения. Ина́че э́то бу́дет похо́же на де́тский буква́рь. Знак ударения, естественно, ставится над ударной буквой. Символ U+0301 при наборе ставится после гласной, на которую падает ударение, как и любой другой комбинирующийся символ Unicode. |
Как многие, наверное, успели заметить, шрифт Verdana от Microsoft и с акутом не дружит, размещая его над следующим, а не над предыдущим символом. Я не знаю, есть ли подобная проблема в MacOS или *nix. Будем надеяться, что она отомрёт со временем.
Вообще говоря, проблема решается обновлением шрифта до версии 5.01, Verdana этой версии правильно обрабатывает диакритики. Для обновления можно скачать European Union Expansion Font Update, который доводит Verdana до версии 5.01 и решает проблему в Windows XP и Vista. Также приведу ссылку на скачивание отдельно шрифта Verdana 5.01 в формате TTF.
Знаки минуты и секунды (они же — фута и дюйма)
| ′ | U+2032 | одинарный штрих | Одинарный штрих используется для обозначения угловых минут, а двойной штрих — секунд (например, 59° 57′ 00″). Напомню, что в такой записи знаки градуса, минуты и секунды не отбиваются пробелами от предшествующего числа, а от последующего отбиваются тонкой шпацией  . |
| ″ | U+2033 | двойной штрих |
В английской типографике эти же знаки используются для обозначения фута и дюйма (5′ 10″ tall), но в русской традиции это не принято. Теперь мы часто можем видеть в рекламе обозначения «19″ монитор» вместо «19-дюймовый монитор». Точнее, мы видим, как вместо знака дюйма (двойного штриха) используется стандартная кавычка: «19» монитор». Это совсем неправильно.
Возможно, в связи с проникновением компьютерных технологий в современную жизнь и общей глобализацией, одинарный и двойной штрихи приживутся в качестве сокращений для фута и дюйма в тесном наборе, но в обычных текстах я рекомендую писать слова «фут» и «дюйм» полностью.
Одним из самых таинственных стихов книги Откровения является 18-й стих 13-й главы. Во все времена он был лидером по количеству трактовок и толкований; его и сегодня пытаются приложить к современным реалиям.
Вот эти строки: Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его — шестьсот шестьдесят шесть (Откр. 13, 18).
Все кинулись подставлять антихристов, расшифровывая их имена по цифрам и буквам, — а кандидатов было достаточно. Антихристами побывали: Лютер, Никон, вообще все церковные реформаторы, Наполеон, Лев Толстой, Ленин, Гитлер, Нерон, Сталин и несколько Римских пап.
Интересные факты о числе зверя
Имеются люди с психологическими заболеваниями, выражающимися в боязни числа 666. Фобия числа 666 называется Hexakosi-oidekahexaphobia — (гексакосиойгексеконтагексафобия ).
* * *
В Европарламенте есть место под номером 666 — оно всегда пустует.
* * *
Вы когда-нибудь задумывались, почему рулетку иногда называют чёртовым колесом? Из-за проигрышей и безумия людей, связанных с игорными домами? Отнюдь, всё проще, если сложить все числа на рулетке, мы получим то самое пресловутому число 666. Французский маг и казино оператор, Франсуа Бланк, по общему мнению, продал свою душу дьяволу в обмен на секреты рулетки.
* * * 
Шоссе 666 в Америке переименовали не только и не столько из-за суеверия, а скорее из-за другой части человечества, обожающего обсуждаемое нами число, дорожные знаки с номером трассы безостановочно растаскивали на подарки. При этом трасса так же известна своей невероятно высокой статистикой ДТП при чём со смертельным исходом. Конечно, местные сразу всё свалили на происки Антихриста. Но после переименования трассы в 491-ую смертей меньше не стало.
* * *
Автобусный маршрут 666, следовавший от метро «Новые Черемушки» до метро «Проспект Вернадского», был переименован под давлением верующих в… 616! А следом за ним, кстати, переименовали и маршрут поезда, который курсировал между Москвой и Осташковом. Теперь он не 666-й, а 604-й.
* * *
Шесть лет назад, небольшой городок Ривз, штат Луизиана, наконец избавился из телефонного кода города, который пугал своих граждан с 1960 года — 666.
Христиане в Ривз были недовольны кодом с «числом зверя» с момента его присвоения. Когда телефонная компания, наконец, смягчилась позволяя городу перейти на код «749» , мэр Скотт Уокер назвал решение «божественным вмешательством».
* * * 
Первый Apple в розницу продавался за $ 666,66. Удобная число или неудобный знак ? объяснять подобное неоднозначное сочетание цифр пришлось во время одного из интервью именно Стиву Возняку.
Он сослался на то, что на тот момент был не в курсе того, что с религиозной точки зрения символизирует подобное цифровое сочетание, а потому выбрал цифру лишь потому, что планировал сделать розничную наценку в размере 30% от оптовой стоимости. В любом случае, Стив Возняк говорит он выбрал номер, потому что его было легко печатать с помощью только одного пальца.
* * *
Римская цифра для 666 (DCLXVI) имеет в составе ровно одно вхождение каждого из шести символов, которые имеют значение, меньшее 1000.
D = 500, C = 100, L = 50, X = 10, V = 5, I = 1.
* * *
Споры по поводу числа Зверя не прекращаются со II века. Вариант Библии, ссылающийся на цифру 616, был раскритикован лионским епископом Иринеем (130–200) как «ошибочный и ложный». Фридрих Энгельс проанализировал Библию в своей книге «О религии» (1883). Он также рассчитал число Зверя как 616, а не 666. Существует мнение, что, возможно, в первые века при переписывании Откровения Святого Иоанна была допущена ошибка, поскольку в ряде ранних источников число зверя указано как 616.
* * *
В Китае и других азиатских странах, в отличие от европейских, 6 является «счастливым числом», об этом свидетельствует тот факт, что 6 июня 2006 года (06.06.06.) в Сингапуре было заключено в три раза больше браков, чем обычно.
* * * 
Штрих-код. Принятый во всем мире стандарт штрих-кодов в качестве защитных символов имеет три шестерки, которые обозначаются двумя тонкими длинными линиями в начале штрих-кода, в его середине и в конце. Кредитные карты, карточки ИНН тоже используют этот вид кодировки.
* * *
Буквы WWW обозначают ….. 666 ! Так как это еврейская цифра 6 это W
* * *
Ширина долларовой банкноты составляет 6,66 сантиметра.
* * *
В Ветхом завете число «666» встречается трижды
* * *
Число 666, будучи «числом зверя», особенно часто используется для придания оттенка сатанизма, в частности, 666 часто используют музыканты, играющие блэк-метал
* * *
Карточки Visa. Название этой платежной системы некоторые переводят так: VI – это римская 6; S – греческая, а A- вавилонская. Итого: 666.
* * *
Когда в Мексике меняли телефонные номера, город Тихуана получил код 666. После многочисленных протестов жителей код поменяли на 664. Но это не изменило репутации Тихуаны как мексиканского города грехов.
* * *
Самая убедительная версия восходит к глубокой древности и непосредственно указывает на Нерона. Другого такого 
гонителя христиан не знал мир. И дело не только в том, что имя Neron в латинской транскрипции дает 666 (50+6+500+60+50): правильно-то он назывался Nero, что в сумме 616, И в древнейших списках Апокалипсиса число Зверя иногда именно 616. А ежели слова «кесарь Нерон» записать по-древнееврейски, то как раз и будет 666, — совпадения слишком многочисленные, чтобы их можно было игнорировать.
Особое мнение
С очень большой вероятностью можно сказать о «числе зверя – 666» глобальной иллюзией, используемой для того, чтобы контролировать массовое сознание людей через страх. Создав страх о «числе зверя», они планомерно материализуют эту теорию, повсюду внедряя бессмысленное и практически невыгодное «666» в составе штрих-кодов, электронных карт, символических системных обозначений, идентификационных номеров и т.д. С помощью этого они преднамеренно подтверждают фактами исполнение «древнего пророчества» Апокалипсиса о приходе » Антихриста» и приближении чего-то ужасного, необратимого и фатального для человечества… Для чего это нужно? По сути – это всего лишь иллюзорная ФИКСИРОВАННАЯ ИДЕЯ, оккультное ухищрение и дьявольская уловка, предназначенная вызывать неконтролируемый подсознательный страх у массы людей.
Это и есть смысл распространения символики 666 – создавать в сознании у людей ИЛЛЮЗИЮ неизбежности 
подчинения тоталитарному властному контролю. Поскольку «число зверя» навязывается ПРАВИТЕЛЬСТВЕННОЙ волей для обязательного применения, у людей нет возможности уклониться, при том, что «неофициальная» информация нашёптывает им, что 666 – очень «плохое и дьявольское» число. Таким образом, в массовом сознании искусственно создаётся раздвоение, дисбаланс, внутренний конфликт, борьба и чувство безысходности, в результате чего воля людей и их ощущение свободы оказываются подорваны изнутри – а именно это и надо дьяволу!
Бояться чего-либо бессмысленная вещь. Стоит учиться у страхов, извлекать у них уроки и становиться на этом сильнее. А числа 666 бояться не надо, страшно не число само, а последствия человеческого непроходимого невежества, которым так легко управлять сильным мира сего. Ведь все мы очень внушаемы, на страхе человеческом легко манипулировать.
Так что живите спокойно, не обращая внимая на цифры, иначе у вас может развиться паранойя. Будьте тверды и мужественны, не бойтесь, не ужасайтесь ибо с вами Господь. А ведь с Ним ничего не страшно!